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证明费马大定理

时间:2013-08-26 作者:未详 点击:

  皮埃尔·德·费马无疑是数学史上最令人着迷的家伙之一。他出生于17世纪法国一个商人家庭,仕途一帆风顺,以至于有资格在姓氏中使用“de”这个代表贵族身份的前缀。费马把所有的业余时间都用在了数学上,却被《业余大数学家的数学》一书的作者排除在外,“他那么杰出,应该算专业数学家”。
  
  古希腊数学家丢番图所着的《算术》跟随了费马一生,他在这本书上简单潦草地记下了48个评注。费马说过,他对每个评注都有一个证明,所以它们是定理,但他对此要么根本没有解释,要么仅仅给出一点点证明提示。
  
  后人前赴后继去求证费马潦草笔记的正确性。例如:大于2的任意质数可以表示为4n+1或4n-1两种形式,其中n是某个整数。例如:第一类质数总是两个平方数之和,而第二类质数永远不能表示成这种形式。证明这种性质对每一个质数都成立非常困难,大数学家欧拉经过7年的努力,几乎是在费马去世整整一个世纪后才成功证明。
  
  实际上,在后人证明这些评注之前,它们应该叫猜想而非定理。但是随着时间流逝,费马猜想一个个被证明——除了“费马大定理”,因此它也常被叫做“费马最后定理”。
  
  读《算术》第二卷时,费马观察着毕达哥拉斯定理——也叫勾股定理,它有几十种证明方法。如果将毕达哥拉斯方程x2+y2=z2中x、y、z的2次幂升级到3次幂会怎样?他发现方程将没有整数解。他试着将其变为4次幂、5次幂……结果都没有整数解。在数的无限世界里,竟没有“费马三元组”的位置,这似乎是不可能的。费马在这个结论后面,写下了令一代又一代数学家为之苦恼的一段话:“我有一个对这个命题的十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。”
  
  这个问题困扰人类长达3个多世纪。费马十分满意自己对数学界的挑战。他并非与数学界毫无接触,事实上,他与他们通信,在信中他叙述自己的最新定理,却不提供证明。这种明显的挑衅叫他人无法忍受,有人叫他“那个该诅咒的法国佬”。费马仅有的一次与他人探讨数学的通信是同帕斯卡,他们探讨了概率论。当帕斯卡催促费马发表他的某个成果时,这个喜欢恶作剧的数学家说:“不管我的哪个工作被确定值得发表,我不想其中出现我的名字。”我们不能希求费马改变个性,只能埋怨当时的出版商为何不将书籍的页边弄得更大一些。
  
  欧拉只证明了3次幂的形式。“数学家之王”高斯虽然没有研究过费马大定理,但当他得知女数学家热尔曼对证明费马大定理有突破性进展时,一反常态,显得惊喜万分。1825年,两位年纪相差一代的数学家在热尔曼的基础上同时独立证明了5次幂。14年后,法国人拉梅证明了7次幂。在热尔曼的研究取得突破性进展后,法国科学院为费马大定理设立了专项奖励,但此后每一次有人声称成功证明了费马大定理,最终都被发现存在致命漏洞。
  
  数学与物理、化学等学科不同,这些学科由假设开始,然后再在自然界或实验室进行进一步验证,而数学则一开始就要求唯真。或许,这也正是数学的迷人之处。
  
  1908年的某一天,数学爱好者、德国人沃尔夫斯基凯尔因失恋决定自杀。自杀前他在图书馆看到了费马大定理并为之着迷,他活了下来。后来,他立下遗嘱,以2007年为限,奖励第一个证明费马大定理的人10万马克。全世界都为此疯狂,以至于负责管理这笔钱的哥廷根皇家科学协会不得不印刷大量的退稿卡片来应付来自各地的信件。
  
  最终,358年之后,英国人安德鲁·怀尔斯于1995年证明了费马大定理,那时费马大定理已转换为证明谷山-志村猜想。毫不夸张地说,怀尔斯动用了人类发明数学以来几乎所有的知识,汇集了20世纪有关数论的所有突破性工作。他的证明写了满满200页,被分成6章,由6位世界顶级数学家独立审核。怀尔斯的证明即使浓缩到最短,也有100页之多,这与费马留在页边的那段话格格不入。包括很多着名数学家在内的人认为,一定有以17世纪数学知识为基础的简洁巧妙的证明费马大定理的方法。从这个意义上说,费马大定理至今仍没有被完美证明。

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